算子范数的特殊性质及其证明
算子范数的特殊性质
设$A\in C^{n\times n}$，若算子范数$||A||<1$，则$I-A$与$I+A$为非奇异矩阵（可逆），且
$$ \frac{1}{1+||A||} \le||(I-A)^{-1}|| \le \frac{1}{1-||A||}\\ \frac{1}{1+||A||} \le||(I+A)^{-1}|| \le \frac{1}{1-||A||} $$
证明：（以$I-A$为例，$I+A$情况类似可证）
假设$I-A$不可逆，则有
$$ \det(I-A)=0 $$
则$\lambda=1$是$A$的一个特征值，于是有
$$ 1\le\rho(A)\le||A||<1 $$
这一悖论，故原假设不成立，$I-A$可逆，故
$$ (I-A)(I-A)^{-1}=I $$
而
$$ \begin{aligned} (I-A)^{-1}&=(I-A+A)(I-A)^{-1}\\ &=(I-A)(I-A)^{-1}+[A(I-A)^{-1})]\\ &=I+[A(I-A)^{-1})] \end{aligned} $$
故
$$ \begin{aligned} ||(I-A)^{-1})||&=||I+[A(I-A)^{-1})]||\\ &\le||I||+||A(I-A)^{-1})||\\ &\le||I||+||A||\cdot||(I-A)^{-1})||\\ &=1+||A||\cdot||(I-A)^{-1})|| \end{aligned} $$
$$ (1-||A||)\cdot||(I-A)^{-1})||\le 1\\ ||(I-A)^{-1}|| \le \frac{1}{1-||A||} $$
并且
$$ \begin{aligned} ||(I-A)^{-1})||&=||I+[A(I-A)^{-1})]||\\ &=||I-[-A(I-A)^{-1})]||\\ &\ge||I||-||-A(I-A)^{-1})||\\ &=||I||-||A(I-A)^{-1})||\\ &\ge||I||-||A||\cdot||(I-A)^{-1})||\\ &=1-||A||\cdot||(I-A)^{-1})|| \end{aligned} $$
$$ (1+||A||)\cdot||(I-A)^{-1})||\ge 1\\ ||(I-A)^{-1}|| \ge \frac{1}{1+||A||} $$
证毕。
修辞手法运用娴熟，比喻贴切，感染力强。
个人成长叙事与普世价值结合巧妙。
?幽默类评语?
反讽手法运用娴熟，令人会心一笑。
作者以简洁明了的语言，传达了深刻的思想和情感。