算子范数的特殊性质及其证明 2025-02-13 研究 数理 算子范数的特殊性质设A∈Cn×n，若算子范数||A||<1，则I−A与I+A为非奇异矩阵（可逆），且11+||A||≤||(I−A)−1||≤11−||A||11+||A||≤||(I+A)−1||≤11−||A||证明：（以I−A为例，I+A情况类似可证）假设I−A不可逆，则有det(I−A)=0则λ=1是A的一个特征值，于是有1≤ρ(A)≤||A||<1这一悖论，故原假设不成立，I−A可逆，故(I−A)(I−A)−1=I而(I−A)−1=(I−A+A)(I−A)−1=(I−A)(I−A)−1+[A(I−A)−1)]=I+[A(I−A)−1)]故||(I−A)−1)||=||I+[A(I−A)−1)]||≤||I||+||A(I−A)−1)||≤||I||+||A||⋅||(I−A)−1)||=1+||A||⋅||(I−A)−1)||(1−||A||)⋅||(I−A)−1)||≤1||(I−A)−1||≤11−||A||并且||(I−A)−1)||=||I+[A(I−A)−1)]||=||I−[−A(I−A)−1)]||≥||I||−||−A(I−A)−1)||=||I||−||A(I−A)−1)||≥||I||−||A||⋅||(I−A)−1)||=1−||A||⋅||(I−A)−1)||(1+||A||)⋅||(I−A)−1)||≥1||(I−A)−1||≥11+||A||证毕。
修辞手法运用娴熟，比喻贴切，感染力强。
个人成长叙事与普世价值结合巧妙。
?幽默类评语?
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